罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展
1、撰文弗兰克·维尔切克(FrankWilczek)(罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展)。
2、19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。
3、尽管如此，科学家们依旧不断地摸索着，不料发现无穷虽极具潜力，但无力掌握，因此彻底掌握无穷问题成为了奋斗的目标。
4、在氘氚反应中，质量不严格守恒，虽然粒子的运动速度并不接近光速，但仍然在此过程一开始就产生了(非相对论的)动能。相对论的能量当然守恒，可尽管如此，却不存在有效的方法将它分成各自守恒的两部分。在假想实验中，通过调整质量，我们能够使这个问题在任意低速的情况下出现。另外一个实现缓慢运动的方法是让释放出的质能分配到众多物体中去。
5、罗素：《数理哲学导论》，晏成书译，商务印书馆，1982年。
6、(5)(以)尤瓦尔·赫拉利2012:《人类简史:从动物到上帝》中信出版社中译本2014P
7、在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上胡尔维茨明确地阐述康托尔创立的集合论对函数论的进展的推动作用，让集合论自诞生以来第一次得到公开的承认和热情的称赞。
8、因此，现在的古典集合论或朴素集合论就是指康托尔创立的集合论。
9、然而，我们却清楚地知道这些概念的适用范围。关于物体我们将有一个呈展的、近似的概念。物理空间也会用承载欧氏几何的欧氏三维空间R3加以模型化。这一成功的空间模型早在欧氏几何成型以前，在测量以及民用工程上就被持续使用了上千年。
10、(23)HilbertD.Axiomaticthought(M).//EwaldWB.(ed.)FromKanttoHilbert:ASourceBookintheFoundationsofMathematics,Vol.2,Oxford:OxfordUniversityPress,2005,1105-11
11、哈达马是策梅洛坚定的盟友，在他为康托尔的理论辩护的基础上，他主张选择公理也可接受。对于哈达马来说，关于对象存在的断言并不要求描述它们，如果仅是关于存在的断言就能使数学得到发展，那么这样的断言是可以接受的。
12、为了具体地从数学上描述这个问题，考虑核反应2H+3H→4He+n，这个反应是实现可控核聚变的关键。氘加上氚的总质量比α粒子加上质子的总质量多出6Mev。假设氘和氚初始时刻处在静止状态，那么,α粒子和质子分别具有0.4c以及0.17c的速度。
13、尽管矛盾的基本起因看起来已经明了，但仍存在着怎样构造数学来尽可能减少这些矛盾的问题。更为重要的是，要数学中不再出现新的矛盾。现在，我们可以看出为什么相容性问题在20世纪初变得如此紧迫了。数学家们把矛盾看成是集合论的悖论。然而，集合论的工作确实让他们看到了在经典数学中可能存在的矛盾。
14、(好物)数学和数学家的故事，国内数学科普具影响力(罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展)。
15、经典力学中的质量守恒是狭义相对论中能量守恒的一个结果吗？表面上，这个例子或许显得很直白。从狭义相对论我们知道，物体的质量等于静能量除以光速的平方(E=mc^2)；对于缓慢移动的物体大约来说也是这样。因为能量是一个守恒量，于是这个方程似乎为“力的文化”中质量这一角色提供了一个合适的候选者，E/c^
16、相对于早期的观点，20世纪的现代物质理论更精确、更具多视角的特点。量子电动力学和量子色动力学的方程形成了一个封闭的逻辑体系：它们告诉你什么样的物体会出现，同时能预先规范它们的行为，它们支配着你的测量设备，和你本身。因此，它们定义了什么样的物理问题可以被提出，并且为这些问题提供了答案，或者至少是得到答案的算法(我深信量子电动力学加量子色动力学不是解释自然界的完备的理论，而且，实际上我们并不能很好地求解那些方程)。荒谬的是，相对于早期的并不那么完善的理论体系，现代物理的建立包含较少的解释和文化。方程仅仅提供算法，如此而已。
17、解决：经过柯西(微积分收官人)用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！
18、也许这种复杂性暗示着时空的实数模型是一个呈展的概念，某一天可以籍由逻辑上简单的为物理而提出的本源性的东西将其推导出来。同时，对实数构造的详细考察发现实数的一些自然变种，著名的有康威的包括无穷小量(比任何有理数都小)的超实数，都可以看作合法的量。这些形式上的、性质与普通实数同样自然和优雅的量或许会帮助我们描述自然界？时间会给出答案。
19、(7)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P20
20、(2)其中第一章“方田”主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。
21、让我们来看看罗素在《数学原理》(PrincipiaMathematica)中提出的例子。排中律说所有命题非对即错，但是这个定律自身也是一个命题，因此尽管它的意图是断言逻辑定律的真实性，但它既是一个命题则也有可能是错误的。正如罗素所言，这个定律毫无意义。
22、牛顿和莱布尼茨与他们的前辈发现穷竭法应用于某一特定面积计算不同，他们把微分与积分应用到所有函数关系中而变成一个通用法则，不仅可求面积，而且可以求极大值和极小值(导数等于零时)。极值的运用在现实中无处不在，并且意义巨大。
23、20世纪，当实数和几何得以建立的基本概念上升到集合论以及终的数理逻辑的层次上时，“不适当”的严密性也被引入了。在《数学原理》中，罗素和怀特海德在证明1+1=2以前展开了长达375页的密集的数学讨论。公平地说，如果得到那样一个结果是终目的的话，他们的处理可以缩减很大一部分。但无论如何，从数理逻辑出发，对实数做出合适的定义需要做艰苦而复杂的工作。有了整数，下一步就该考虑有理数以及它们的排序。然后要填补他们之间的空白，使得任何有界的递增数列都有一个极限，那样才算完整地构造了实数。终(这也是困难的部分)，你必须证明得到的系统能支撑代数，并且是自洽的。
24、 但我认为有一点是肯定的,这就是推理的艺术可以达到无与伦比的高度,并且相信我不仅看到了这一点,而且已经对此作了初步的尝试,然而,如果没有数学,我几乎无法完成这一步.尽管在我还是一个数学新人之前我就发现了它的一些基本原理,并且在我20岁时已经发表了一些关于它的东西,但是我终于认识到,没有更高深数学的帮助,通向它的道路会是多么的阻塞,而要打通它们会有多么的困难.
25、“绝少有哪一门新的数学分支是某一个人的工作”微积分从十七世纪创立到二十世纪完善用时三个世纪，历经数代人和无数数学家的不懈努力。本文按《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》(2)一书的介绍对微积分的发展作一个简要概述。
26、微积分对传统数学(古典数学)的突破是从两个方面开始的。一个是“用一个一般的有效方法取代了这些特殊的有局限的计算面积的方法(是指十七世纪前，针对不同的形状发明出不同的面积计算方法，作者注)(4)”；另一个则是从静态发展到动态，“哲学家一般表现出对微积分的兴趣是由于它与运动和变化的问题联系起来，从而可以激起许多形而上学方面的讨论。(5)”
27、(3)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P
28、牛顿(1642-1721)有句耳熟能详的名言:“如果说我能看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”这不是谦词，而是事实。“17世纪伟大的数学家们着手处理这两个概念(指微分和积分，作者注)。这些学者中著名的有开普勒(1571-1630)、笛卡尔(1596-1650)、卡瓦列里(1598-1647)、费马(1601-1665)、帕斯卡(1623-1662)、詹姆斯·格雷戈里(1638-1675)、罗贝瓦尔(1602-1675)、惠更斯(1629-1695)、巴罗(1630-1677)、沃利斯(1616-1703)”当然，更早期的古希腊数学家阿基米德、毕达哥拉斯(前580-前500(490))、亚里斯多德(前384-前322)以及发明零和阿拉伯数字的印度数学家等对微积分的创立也功不可没。
29、众所周知,弗雷格是数学基础研究中逻辑主义的代表人物.他在算术基础研究中所采取的逻辑主义进路就是仅使用纯粹逻辑的方法将全部算术命题从逻辑定义中推演出来.因为在他看来,算术是逻辑的一个分支,无需依靠经验或直觉作为其证明的根据(14,p.29).然而当弗雷格开始实施他的计划时,他发现日常语言的缺陷已经成为他进一步工作的障碍.日常语言的不精确性导致他产生了构造一种表意文字的想法,其结果就是他在1879年发表的《概念文字》.在这本划时代的小册子中,弗雷格在逻辑史和数学史上第一次给出了命题演算和谓词演算的一种“公理-演绎系统”.然而或许是因为他所使用的奇特二维记号,弗雷格的逻辑系统直到19世纪末几乎都没什么影响.弗雷格在数学基础方面的第二部著作是1884年出版的《算术基础》,它可以看作他的第三部著作《算术的基本规律》(2卷,1893,1903)的导论.毫无疑问,这后一部著作在弗雷格本人看来是他一生工作的顶点.不幸的是,罗素在1902年发现的悖论给他的基础研究工作投下了浓重的阴影.然而幸运的是,他的逻辑工作通过罗素和其他一些人的解读,已经开启了现代逻辑的发展进程.弗雷格也因此被他的后继者尊称为现代逻辑之父.
30、集合论的先天不足虽不足以致命，但依旧花费了很长的时间进行调理。
31、我们发现，许多根植于“力的文化”中的观点并不完全正确。此外，我们今天认为更正确的那一套物理定律如果要嵌入这种文化的语言框架却不是那么容易的。要知道产生这种现状的原因，必须回答两个问题：为什么这种文化能持续繁荣？为什么它会先出现？
32、1908年，策梅罗提出第一个公理集合论系统，然后德弗兰克尔和斯科兰姆进行了修补：ZF如果另加选择公理(AC)，则所得的公理系统简记为ZFC；1925年，冯·诺伊曼开创了另一套公理系统，后经伯奈斯及哥德尔的改进形成了NBG公理系统。
33、性格的弱点导致了康托尔在科学论战中的失败，「克罗内克在科学论战上是一个有能力的战士;康托尔却是一个无能的战士。」，但是「克罗内克对康托尔的强烈敌意，并不完全是个人的，至少部分是出于科学，而且是不存偏见的。」康托尔强调实在的无穷理论，克罗内克承认自然数及其通过有限步骤建构起来的东西，反对实在无穷和非构造性的证明。这是数学的基础性问题，历来存在着较大的分歧，不同的数学家属于不同的阵营。随着集合论在处理实数理论逻辑基础问题的成功，虽然外在的敌对势力在减弱，但康托尔一直为集合论中产生的两大问题所困惑，一是集合论内在的矛盾，二是集合论的连续统假设和良序性定理。康托尔既没有能力解决，也无法去摆脱这些问题。例如，尽管康托尔多次声称或者承诺给出连续统假设成立的精确证明，但从未取得成功，这使得他的集合论基础不牢靠，随时有被摧毁的危险，因此他一直为此烦恼不堪。当有数学家宣称连续统假设不成立时，他就气得脸色苍白，浑身发抖。